高校数学

【高校数学】数学の実力が伸びない高校生へ〜基礎から応用、発展まであらゆる問題の解き方のヒント

こんにちは!しがない理系大学に通っているおととらべる(@RootIntrovert)と申します。

普段は音楽を作ったりしてますが本職は理系大学生なので今回は数学の話をしたいと思います。

日本全国に数学嫌いの人がいると思います。それもかなり....

「公式が覚えられない」、「問題の解き方が分からない」、「計算ミスをよくする」....

もちろん、英語嫌い、国語嫌い、理科嫌い、社会嫌いもいると思いますが数学嫌いの数は他の4つを圧倒しているように感じます。ではなぜ多くの高校生は数学が苦手なのでしょうか?そしてどうすれば数学の問題が解けるようになるのでしょうか?これらの問いに答えていきたいと思います。

数学の実力が伸びない、或いは数学が苦手な理由

数学が苦手な人はなぜ数学が苦手なのでしょうか? 僕の一年間の塾講師の経験から、数学が苦手な高校生の特徴をピックアップしてみたいと思います。

  • そもそも勉強していない
  • 公式を覚えてない、覚えられない
  • どの公式を使えば良いか分からない
  • 計算力不足
  • 思考力不足、思考の持久力不足
  • 遺伝、才能
そもそも勉強していない

割合的にはかなり多いと思います。恐らく中学や高校初期の段階で数学に躓き、自分は数学ができないと思い込んで勉強しないパターンです。勉強しないとさらに分からなくなり,数IIなどに突入すると分からない事柄が増えすぎて何がわかっていないんだかよく分かっていない人も散見されます。

公式を覚えてない、覚えられない

覚えてない場合は、上の「勉強していない」こととある程度関係があると思います。覚えられないという人はそもそも公式を使った練習問題などの演習量が少ない場合が少なくありません。例えば、二次方程式の解の公式を勉強しても、その後二次方程式の問題を5,6題解いた程度ではほとんどの人はすぐに公式を忘れてしまいます。

どの公式を使えば良いか分からない

これも非常に多いと思います。教科書や簡単なワークの基本問題なら単元毎に問題がまとまっているため、どの公式を使えば良いか悩むことはあまりないかもしれませんが、模試や学力テストになると出題範囲が広いことに加えて「この問題はベクトルと微分の融合問題です」などという案内は書かれていないので(笑)結果的に点数が出ずに数学嫌いになってしまうパターンです。

計算力不足

計算力は数学の問題を解く上で非常に重要です。中途半端に数学が出来る人の中には計算を軽視している人を見かけることがありますがそれは間違いです。

やはり数学が得意な人と比べると、苦手な人は計算ミスが圧倒的に多いです。単純な符号ミスや,sin(π/6)→√3/2,cos(π/6)→1/2としてしまうなど,簡単なミスがほとんどです。

一番厄介なことは、計算ミスに対する意識の低さです。「計算ミスか〜じゃあしょうがないな、やり方は合ってるし」などと思い同じ計算ミスを何回も何回も繰り返す人が多すぎます。

思考力不足、思考の持久力不足

思考力不足、思考力不足というのは一つの問題を様々な観点から捉えアプローチしていく力が不足していることを指します。これも中途半端に数学が出来る層によく見られます。中には数学を完全な暗記科目だと捉えて問題が分からなかったらすぐに答えを見たりする人がいますが応用問題や発展問題では殆ど意味がありません。

遺伝、才能

これは確実に数学の実力に関係していると思います。世の中の風潮としてはみんながやる勉強は遺伝的要因は関係なく努力云々で全て解決出来る、というものが少なからずあると思います。スポーツや芸術にはやたら才能という言葉を使いたがるのに勉強ではあまり使いたがらないのは違和感がありませんか?

数学を解くヒント

では何をしたら数学の問題(基礎から応用まで)が解けるようになるのでしょうか。これから、数学のあらゆる難易度の問題を解くために役立つヒントをいくつかピックアップしていきます。

勉強する

当たり前ですが勉強しないと出来るようにはなりません。まずは高校の教科書を開いて問題を解いてみましょう。問題が解けなかったらなぜ解けなかったのかを考えてみましょう。問題文が理解できないのか、公式を覚えてないのか、公式以前に中学校や小学校の範囲がしっかり理解出来ていないのか、等色々な要因が浮き彫りになってくると思います。

場合によっては中学や小学校の範囲に戻る必要性も出てくる場合があるかもしれませんが、中学や小学校の算数数学を1から復習する必要は無いです。

例えば数Iの2次関数がよく分からなかったら中学の二次関数、二次方程式に戻ってそこの分野をもう一度中学校の教科書やWebを使って学習していけば良いです。関係のない相似や空間図形の復習はしなくてもいいですよね? 戻ることを恐れずにプライドを捨てて戻れるだけ戻ってみましょう。そうすれば少しずつ実力は付いてくると思います。

まずは基本的な問題を「繰り返し」解き、自信をつけていきましょう。

問題を読む

問題を読んでいない(読めない)高校生は非常に多いと思います。

問題文を読むことは、眺めることではありません。問題文に書いてある日本語の条件を数学の言葉で言い換えてあげましょう。

例えば、「二次関数y=x^2+ax+bがx軸と異なる二点で交わる」という文章は次のように言い換えることが出来ます。

「y(=f(x))の判別式をDとするとD>0である」これを完全に数式化すると、「-a^2-4b>0」となります。

これが数学の問題を読む(モデル化、数式化)ということです。

基本問題から発展問題まで、あらゆる問題を解くときの基本となります。そのため、基本問題でもただなんとなく解けているから良いではなく、このような日本語と数式の対応を意識しましょう。

もちろん、日本語1つに対して複数の捉え方ができる場合もあります。平面図形の問題1つとってみても数Aのようなやり方とベクトルを使うやり方、座標設定して解くやり方など、様々なアプローチが考えられます。そこらへんも意識してみましょう。それぞれのやり方のメリットデメリットなどをしっかり押さえておけばそれだけでも数学の問題を解く力がかなり付いてくると思います。では、実際に次の問題文を「読んで」みましょう。

二次関数y=f(x)を$$f(x)=x^2+ax+b$$とする。$$b=a+1,a\neq -2$$の時、y=f(x)はx軸との交点を持たないことを示せ。

問題文を読んでみましょう。b=a+1はもともと数式化するのでこのままで大丈夫です。「x軸と交点を持たないこと示せ」と書いてあるのでこれを次のように言い換えてみましょう。

判別式をDとすると、常にD<0である。

判別式Dは、$$-a^2-4b$$となるので、これにb=a+1を代入して、どのようなaの値でも
$$-a^2+4(a+1)<0$$であることを示しましょう。$$-a^2+4(a+1)$$は変形すると
$$-(a+2)^2$$になります。これは二乗の形であるので、必ず0以上となります。また、aは-2ではないので0をとることはありません。したがって、$$(a+2)^2>0$$であることが言えたので、
$$D=-(a+2)^2<0$$であることが分かり、証明終了となります。

このように、問題を読むことは数学の問題を解く上で基本中の基本となります。

帰納と演繹

皆さんは帰納、演繹という言葉を知っていますか?帰納、演繹というにはそれぞれ、

  • 帰納...さまざまな具体例から法則を見つけ出し一般化すること。
  • 演繹...世の中の法則(三平方の定理など)から具体的な問題を解決すること。

という意味があります。これは数学だけでなく勉強の仕方を考える時に非常に役に立つ考え方です。

具体例を使って考えてみましょう。ニュートンの有名な逸話に「リンゴが木から落ちるのをみて万有引力の法則を発見した」というものがあります(この逸話の真偽については触れません)。

これは立派な「帰納」です。「リンゴが木から落ちる(リンゴと地球が引きつけあっている)」という具体的な事象から「すべてのものは引きつけ合う」という万有引力の法則を発見し、一般化したのです。「リンゴが木から落ちる」という目の前の事象に囚われているだけでは、「消しゴムが机から落ちる」、「雨粒が地面に落ちる」などの事象と関連づけることは出来ません。

しかし、万有引力の法則を使えば、

全ての物は互いに引きつけ合う。だから、リンゴと地球は引きつけ合い、同じように消しゴムと地球、雨粒と地球が引きつけ合うということが言える。

という風に言えます。全く別々に見える3つの事象が万有引力の法則という概念で一つにまとまるのです!

さて、これを勉強に当てはめて考えてみましょう。

皆さんは小学生の頃に「みはじ」というものをやった覚えはありますか?
み=道のり、は=速さ、じ=時間の事です。

道のり=速さx時間
速さ =道のり/時間
時間 =道のり/速さ

非常に有名で便利だとは思いますが、これは上の3つの公式を覚える「覚え方」にすぎません。

少し考え方を変えてみましょう。単位に焦点を当てて考えてみます。道のりをkm,速さをkm/h,時間をhとします。km/hというのは1/2のような分数と考えます。上の3つを単位だけで表現してみます。


km = km/h x h
km/h = km/h
h = km/km/h (km ÷ km/h)


何か気づきましたか?これらは全て左右の単位が一致しているのです!(右辺は単位を約分してみましょう)
「だからどうした」と思うかもしれませんが、これに気づくと

「単位を覚えさえすれば公式を覚えなくても単位の掛け算の組み合わせで左右の単位が一致するようにすれば良い」という予想が立てられませんか?

物理、化学の範囲になってしまいますが、以下の公式を見てみましょう。

濃度計算:モル濃度=溶質モル/溶液リットル、質量モル濃度=溶質モル/溶媒Kg

圧力: 圧力 = 力 / 面積

水圧: 水圧 = 密度x水深x重力加速度

mol計算:物質量 = 質量/分子量や式量

これらは具体的な、一見バラバラに見える公式です。これを「単位」という見方でつなぎ合わせてみましょう。上の公式を単位で考えると以下のようになります。

濃度計算: mol/L = mol / L mol/kg = mol / kg

圧力: N/m^2 = N / m^2

水圧: pa = (kg/m^3) x (m) x (m/s^2) (pa = kg/(m x s^2) です)

mol計算 : mol = g / (g/mol)

確かに左辺と右辺で単位は一致していますね。圧倒的に公式そのものを覚えるより、単位を覚えてしまた方が早く覚え忘れにくいと思いませんか?暗記量も圧倒的に後者の方が少なくて済みます。

このように、バラバラな個々の事象をある観点から見直す事で問題や公式の捉え方が大きく変わります。日頃から目の前の物事をそのまま認識して終わるのではなく、周りの物事と関連づける癖を身につけましょう。


次に演繹です。演繹は基本的に帰納よりは難しくありません。演繹は勉強においては「問題文を読む(読める)事」という風に言い換えても差し支えないと思います。つまり、数学では問題文の日本語を数式に変換するという事です。

例えば、3点ABCDが同一平面上にある。という日本語を

$$\overrightarrow{OA} = s\overrightarrow{OB} + t\overrightarrow{OC} + u\overrightarrow{OD} (s+t+u=1)となる実数s,t,uが存在する$$

などという風に言い換える力が演繹力です。この力を養うためにはやはりチャートやFocus Goldなどの問題集などを使い、日本語と数式の対応を常に意識する事が必要です。

計算力をつける

まず、計算力とはなんでしょう。計算をただ素早く正確に出来る力のことでしょうか?

僕は計算力を「計算を素早く正確に実行できる力に加え、計算量を少なく済ませることが出来る能力、問題の解法が複数考えられる時に最良の解き方を選択出来る力」と考えています。

まず、計算量を少なく済ませることが出来る能力について考えてみましょう。中学範囲の展開について考えてみましょう。

(a+b-3)(a-b-3)

これをそのまま1から展開して

a^2-ab-3a+ab-b^2-3b-3a+3b+9

とするのは計算力が高いとは言えません。

{(a-3)-b}{(a-3)-b}と考えれば、これは

(a-3)^2 - b^2となり、上よりも圧倒的に速く、ミスの少ない解法であることが分かると思います。

「解けるから良い」ではありません。高校数学では計算量が多い問題がたくさん出てきます。その時に常に計算量を少なくする方法を考えている人とそうでない人では当然大きな差が出てきます。

次に「問題の解法が複数考えられる時に最良の解き方を選択出来る力」について考えてみましょう。

早速ですが以下の問題はどう解けば良いでしょうか。

次の円と直線が接する時,aの値を求めよ。 $$x^2+y^2=4$$ $$y=x+a$$

まずはやはり問題文を読むことです。「接する」というのはこの場合、「判別式が0」であることと言い換えることが出来ます。この方針で解いてみましょう。


2つを連立させてyを消去すると、
$$
x^2+(x+a)^2=4 $$
$$2x^2+2ax+a^2-4=0$$

判別式をDとすると

$$D/4 = a^2 - 2(a^2-4) =0 $$

$$a^2 = 8$$

$$a=2\sqrt{2} , -2\sqrt{2} $$


簡潔にaを求めることが出来ます。しかし、この場合、「接する」の言い換えは他にもあります。それは「円の中心と直線の距離は円の半径に等しい」というものです。これを使って解いてみましょう。


円の中心と直線の距離は、点と直線の距離公式より、

$$\frac{|a|}{\sqrt{2}} = 2 $$

となります。よって、答えは$$a=2\sqrt2, -2\sqrt2 $$となります。
どちらの方が計算量が少なくて良い解法と言えるでしょうか。後者の方が圧倒的に速く計算でき、ミスも少ないでしょう。この計算量の差は円や直線の式が複雑になる程広がっていきます。

このように、複数の解法が考えられる時はそれぞれの解法についてよく考え、どの解法が一番良いかを考える癖をつけておきましょう。

数学の問題解決の発想法

数学の応用、発展問題にはどのようなアプローチを仕掛けたら良いのでしょうか。

やはり基本が大事であることには変わりありませんが、もう少し突っ込んだ話をしまししょう。

基本問題をただ解いているだけでは基本問題しか解けません。みたことのない設定の問題などが出てくると途端に解けなくなってしまいます。そこで、次の事を意識してみましょう。

基本問題の解答を見て「何をしているのかを」考え、「なぜそのような事をするのか」を考える

これは意外と難しいです。特に後者は。例えば次の問題を考えてみましょう。

「$$ab+3b=a+4$$を満たす自然数の組(a,b)を全て求めよ。」

チャートとかに載っている典型問題です。まず、この式を、$$(a-3)(b-1)=7$$と変形します。そうすると、7は自然数を使う場合1 x 7か 7 x 1としか表現できないので、a-3 = 7, b-1 = 1、
または a-3 = 1 , b-1 = 7が条件となります。したがって答えは$$(a,b)=(10,2),(4,8)$$となります。

これはただ解けるだけではあまり意味がないです。早速「何をしているか」と「なぜそうするのか」を考えていきましょう。


まずはやはり$$(a-3)(b-1)=7$$という変形です。

何をしているかというと、「問題文では式は和の形で表されているが、それを因数分解を用いて積の形にした」ですよね。

では、なぜそうするのでしょうか?もっと簡単な例で考えてみましょう。k,lを整数とします。このとき、$$k+l=2$$を満たすk,lの組は、k=1だったらl=1,k=0だったらl=2,k=-1だったらl=3......という風に無限に存在します。しかし,$$kl=2$$を満たすk,lの組は(k,l)=(1,2)(2,1)(-1,-2)(-2,-1)の4つだけです。和の形と積の形では満たす整数の組の数が全然違うのです。これより、

積の形にすれば解を絞り込むことができる

と予想できます。これを意識して色々な問題を観察していくと様々な問題(特に整数問題)で和の形→積の形 という変形を用いていることが分かると思います。これはまさに「帰納」の考え方です。

したがって、(a-3)(b-1)と変形する理由がわかりましたね。

このように基本問題もしっかりと理解しようとすれば帰納的な考えを用いる場面も多く、慣れるまでは難しいです。

そこで、数学の問題を解くために有効なアプローチを紹介します。以下のサイトに数学の問題を解くための10のアプローチが紹介されています。

https://diamond.jp/articles/-/24441?page=3

次数下げ、視覚化などを意識すると問題の見方がガラリと変わっていきます。

少し補足をすると、(5)の「和より積を考える」ですが、単元や問題によっては「積より和」を考えるべき時もあります。それは敢えて言わないので自分で探してみましょう。

数学の問題解決の発想法の補足〜具体例で考えることの重要性〜

数学というのはどういう学問でしょうか。ただ数式をいじくりまわして証明をしていくような無味乾燥とした学問でしょうか?

数学の問題のアプローチは多岐に渡ります。「問題文を読むこと」が重要であることには変わりありませんが、問題文を読んで数式を弄ろうとしただけでは解けない問題がたくさんあります。「問題文を読むこと」は問題を解くための必須条件に過ぎません。

ここで、具体例で考えるということについて考えてみましょう。

問題: p,qは素数とする。$$p^q+q^p$$が素数となるp,qを全て求めよ。(京大)

この問題文はどのように読めば良いでしょう。「二次関数がx軸と1点で接する」のような数式化が簡単にできるようなものではありません。p,qが素数と言っていますがこれをすぐに数式化することは出来ません。そこで、具体的に考えてみましょう。

まずは問題を分けて考えます(超重要)

p,qが両方素数と言っていますが、それをpは素数であることとqは素数であることに分けて考えましょう(一見すると何もしてないように思えるかもしれませんが)。

pは素数です。したがって、pは2,3,5,7,11.....であることがわかります。早速具体例で考えてみましょう。まずはp=2の場合を考えてみましょう。p=2を条件式に代入すると、

$$2^q+q^2$$

となることが分かります。次にqは素数なので,これにq=2,3,5,7...と具体的に代入していきましょう。

$$2^2+2^2=8 (2の倍数)$$
$$2^3+3^2=17(素数)$$
$$2^5+5^2=57(3の倍数)$$
$$2^7+7^2=177(3の倍数)$$
$$2^11+11^2=2169(3の倍数)$$

次にp=3で考えてみましょう。qに2,3,5,7....を代入すると、

$$3^2+2^3=17(素数)$$
$$3^5+5^3=368(偶数)$$
$$3^7+7^3=2530(偶数)$$

このように具体例を出したらあとは帰納的に法則を見出してみましょう!これらの具体例から次のことが分かります。

  • p=2の時、q=2だと偶数になる
  • p=2,q=3(逆も然り)の時に素数となる
  • p=2,q=5以上(逆も然り)の時は3の倍数になりそう(予想)
  • p,q共に奇数の場合は偶数になりそう(予想)

下の2つは予想です。数学は厳密な学問なので予想で済ませてはいけません。必ずその予想の裏付け、つまり証明が必要になります。しかし逆に言えばこの2つが証明できれば、p,qの組は(2,3)と(3,2)しかないことが言えます。証明は省略させていただきますが、このように具体的に考え、そこから法則性を見出していく(帰納)ことは数学の応用問題を解くために非常に重要な考え方であることが言えます。これは全く邪道ではありません。是非、迷ったら具体例を使って考えてみましょう。

別に裏技などは何も紹介していませんが、このように当たり前の事を積み重ねていくだけでも成果が出てくると思います。

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おととらべる

おととらべる

現役理系大学生。 Programming : Java, Python 音楽活動名義はRoot Introvertです。 音楽制作でのリリース、プロモーション ByeByeCopyright -> Root Introvert - Between Our Hearts (2019年3月) AirwaveDubstepTV -> SHADOWKEY - Kiss Me(feat. Jellow) (Root Introvert Remix) (2019年10月) NoCopyrightNation(NCN) -> Root Introvert - You Don't Wanna Be Lonely(2020年2月) 7even EDM -> Root Introvert - You Don't Wanna Be Lonely(Promotion) (2020年3月、4月) InspiredByInspired -> Root Introvert - You (2020年2月) AshesToFlame Records -> Root Introvert & Isura - Reminiscent (2020年4月) 一人旅 : タイ、ラオス、ベトナム、マレーシア

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